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El Metodo Axiomatico
El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los teoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica. La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Durante los dos últimos siglos el método axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas fueron provistas de los que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.
Según Poincaré
Los axiomas geométricos no son, pues, ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles está guiada por los hechos experimentales, pero permanece libre, y sólo está guiada por la necesidad de evitar toda contradicción [...]. En otros términos, los axiomas de la geometría no son sino definiciones disfrazadas.
Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas as demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema (definición que precede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación) constituyen la base primitiva del sistema.
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