"Relaciones" 

Llamamos Relación de A en B a cualquier subconjunto del Producto Cartesiano de A•B

 A = {a,b}, B= {1,2,3} 

R = {(a,1); (a,3); (b,2); (b,3)} 

Gráficos: MR1= 1 0 1 
0 1 1 

Diagrama de Venn

 Llamamos Dominio (D) de una relación al conjunto de elementos del primer conjunto que son primer componente de algún par de la relación.

 Llamamos Imagen ( I) al conjunto de elementos del segundo conjunto que son segunda componente de algún par. 

La Relación Complementaria (R) de otra dada es la diferencia entre el producto cartesiano de A•B y la relación R definida de A-> B 

La Relación Inversa (R¯¹) es la relación que contiene a los pares (x,y) / (y,x) E R.

Propiedades de Relaciones

Propiedad reflexiva 

Sea R una relación binaria R en A, (A ¹ Æ).

 Definición: Diremos que R es reflexiva si "aÎA, a R a 

Ejemplo: 

1) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es reflexiva ya que "xÎN, x R x porque x divide a x 

2) En N la relación R definida por: “a R b Û a es el doble de b”. no es reflexiva ya que (1, 1) ÏR puesto que 1 no es el doble de 1

 Propiedad simétrica 

Definición: Diremos que R es simétrica si " a, b ÎA: a R b Þ b R a 

Ejemplo:

 1) En Z la relación R definida por: “a R b Û a – b es múltiplo de 2”.
 es simétrica ya que si a R b Þ hay pÎZ tal que a – b = 2p
 => b – a = 2(-p) con -p Î Z Þ b R a

 2) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” 
no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ÏR 

Propiedad antisimétrica 

Definición: Diremos que R es antisimétrica si " a, b ÎA: [a R b Ù b R a] Þ a = b 
Otra manera de expresarlo: Si a¹b Þ [ (a,b) Ï R Ú (b,a) Ï R ] 

Ejemplo:

 1) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es antisimétrica 
Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ÎN tales que:
 b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m Þ n.m = 1 Þ
 n = m = 1 Þ a = b. 

2) En Z la relación R definida por: “a R b Û a – b es múltiplo de 2”. 
no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2¹4 

Propiedad Transitiva 

Definición: Diremos que R es transitiva si " a, b, c ÎA: [a R b Ù b R c] Þ a R c 

Ejemplo: 

1) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ÎN tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ÎN Þ b R c.

 2) En N la relación R definida por: “a R b Û a es el doble de b”. no es transitiva ya que (4, 2) Î R y (2, 1) Î R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)Ï R